Портфель инвестиций

Рис. 2. Кривая «риск-доходность» портфеля из двух акций

Рассмотрим теперь отрезок, соединяющий вершины и . Параметрически каждая точка этого отрезка определяется координатами , где

. (11)

Тогда для доказательства выпуклости влево построенной кривой необходимо убедиться, что для любого точка находится левее точки . Проверим, что в действительности

или

Для этого преобразуем формулу дисперсии доходности портфеля в следующем виде

Тогда с учетом (11) получаем, что

(12)

Так как параметр t берется из интервала (0,1), знак второго слагаемого в правом выражении выписанного равенства определяется разностью . Рассмотрим коэффициент корреляции , определяющий зависимость доходностей акций первого и второго типов. По определению, ковариация может быть получена из коэффициента корреляции по следующей формуле:

.

Подставляя это в равенство (12) и взяв корень, находим, что

. (13)

Так как коэффициент корреляции удовлетворяет неравенствам отсюда сразу следует, что , причем равенство здесь возможно только в том случае, если . Таким образом, при имеет место строгое неравенство , и, значит, выпуклость влево построенной кривой. Как уже было замечено, если коэффициент корреляции равен единице, то и построенная кривая есть отрезок, соединяющий точки и . В этом вырожденном случае вероятностными методами нетрудно показать, что доходности и как случайные величины связаны между собой линейной зависимостью почти наверное:

п.н., (14)

с положительным коэффициентом линейной зависимости (здесь константы и неслучайны). Это означает, что рассматриваемые акции являются сильно зависимыми и риск инвестиций в портфель из этих акций может быть уменьшен только пропорционально уменьшению ожидаемой доходности портфеля. Противоположной данному случаю является ситуация, когда коэффициент корреляции . В этом случае также имеет место линейная зависимость (14). Если в результате доходность по одной акции оказалась отрицательной, то доходность по другой обязательно положительна. Последнее дает возможность снизить риски до минимального для этого вырожденного случая. Рассмотрим вид допустимой кривой на плоскости «риск-доходность» при условии . Подставляя это значение в формулы (11) и (13), получаем

Сатьи по теме:

Оценка эффективности предлагаемых мероприятий
Рассчитаем затраты на осуществление предлагаемых мероприятий. Затраты на покупку автоматизированной системы по управлению ликвидностью планируются в размере 1000 тыс. руб. Затраты на покупку автоматизированной системы управления кредитными рисками планируются в размере 1500 тыс. руб. Для обслуж ...

Территориальные учреждения и национальные банки в системе Банка России
Эффективность выполнения возложенных на департаменты центрального аппарата Банка России функций во многом зависит от успешной работы территориальных подразделений этого банка, поскольку на них ложится основная нагрузка по реализации его функций. К территориальным банкам чаще всего относят главные ...

Организация учёта уставного капитала
С учреждением ОАО создается его уставный капитал, отражающий минимальный размер имущества общества, гарантирующего интересы его кредиторов. Уставный капитал ОАО состоит из определенного числа акций, количество которых предусмотрено уставом. В уставный капитал ОАО включается только номинальная стои ...