Простейшая модель оптимизации портфеля

2. Задача Марковица. Наиболее часто встречаемая задача оптимизации портфеля была впервые описана Г. Марковичем и имеет следующую постановку. Допустим, что задан некоторый уровень доходности , ниже которого инвестор не хотел бы иметь ожидаемую доходность. Тогда оптимальный портфель выбирается среди всех возможных так, чтобы риск инвестиций, определяемый дисперсией доходности портфеля, был минимальным. В нашем простейшем случае задача Марковица может быть формализована следующим образом:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче Марковица

Естественно предположить, что , иначе задача либо не имеет решения, либо становится тривиальной. Так как - возрастающая функция на отрезке [0, 1], ее минимум достигается в минимально возможном значении , определяемым условием . В силу того, что также возрастает на [0, 1], минимальное возможное значение определяется уравнением (см. рис. 4.). Таким образом, имеет место равенство

из которого находим значение :

Соответственно,

Таким образом, оптимальный портфель в задаче Марковица в простейшем случае безрискового и рискового активов определяется следующей парой:

Нетрудно убедиться, что ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение по оптимальному портфелю в этом случае находятся по формулам:

3. Соотношение «риск—доходность». Предпочтение инвестора определяется минимизацией некоторой функции, связывающей риск и доходность каждого портфеля. Пусть, как и прежде, . Введем функцию рискованности следующим образом:

Здесь коэффициент q > 0 определяет предпочтение доходности перед риском для каждого инвестора. Если инвестор в большей степени предпочитает определять свои вложения доходностью, чем риском, то он выбирает коэффициент с большим значением. Если же для инвестора более важным является риск, то он выберет коэффициент q маленьким.

В итоге задача оптимизации портфеля в этом случае имеет следующий формальный вид:

Как видно, функция является квадратным трехчленом с положительным старшим коэффициентом. Поэтому график этой функции представляет параболу, ветви которой направлены вверх. Значит, функция имеет глобальный минимум, определяемый вершиной параболы. Координата вершины параболы равна

(15)

Так как , координата . Рассмотрим два различных варианта выбора оптимального портфеля. Первый вариант возникает в ситуации, когда . Так как в этом случае функция убывает на всем отрезке [0, 1], ее минимум на отрезке [0, 1] достигается в точке . Нетрудно заметить, что неравенство эквивалентно условию

Это удобно переписать в следующем виде:

(16)

Если это неравенство не выполнено и имеет место следующее соотношение:

то и минимум функции на отрезке [0, 1] достигается в точке . Тогда оптимальный портфель выбирается по второму варианту и равен . В силу формулы (15) нетрудно получить его окончательный вид:

Сатьи по теме:

Производные финансовые инструменты
Производный финансовый инструмент - это контракт (договор), дающий право или обязательство покупать или продавать товары и финансовые инструменты в будущем по заранее оговоренной цене. Эти инструменты называются производными, потому что их цена зависит от стоимости или значения базисной переменной ...

Анализ отечественного рынка ипотечного кредитования
Объемы выдачи ипотечных кредитов в 2003 году, по сравнению с 2002 годом, возросли вдвое - $500млн. против $260млн. Основной вклад внес Сбербанк благодаря значительной ресурсной базе и разветвленной филиальной сети, доля которого по-прежнему составляет около 50% рынка [15]. В настоящий момент 60 п ...

Акции
Акция - эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее владельца (акционера) на получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов, на участие в управлении акционерным обществом и на часть имущества, остающегося после его ликвидации. Акция является именной ценной бумагой. Таким обр ...